Puntuación z

Este tutorial trata sobre la estandarización z (transformación z). Analizamos qué es la puntuación z, cómo funciona la estandarización z y qué es la distribución normal estándar. También explica qué es la tabla de puntuación z y para qué se utiliza.

¿Qué es la estandarización z?

La estandarización z es un procedimiento estadístico que se utiliza para hacer comparables los puntos de datos de diferentes conjuntos de datos. En este procedimiento, cada punto de datos se convierte en una puntuación z. Una puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media se encuentra ese punto de datos.

Ejemplo de estandarización z

Supongamos que eres médico y quieres examinar la presión arterial de tus pacientes. Para ello, mides la presión arterial de una muestra de 40 pacientes. A partir de los datos medidos, naturalmente se puede calcular el promedio, es decir, el valor que tienen los 40 pacientes en promedio.

Ahora uno de los pacientes te pregunta qué tan alta es su presión arterial en comparación con los demás. Le dices que su presión arterial es 10 mmHg superior al promedio. Ahora surge la pregunta: ¿10 mmHg es mucho o poco?

Si los otros pacientes se agrupan muy cerca de la media, entonces 10 mmHg es mucho en relación con la dispersión, pero si los otros pacientes se distribuyen muy ampliamente alrededor de la media, entonces 10 mmHg podría no ser tanto.

La desviación estándar nos dice cuánto están dispersos los datos. Si los datos están cerca de la media, tenemos una desviación estándar pequeña; si están muy extendidos, tenemos una desviación estándar grande.

Digamos que obtenemos una desviación estándar de 20 mmHg para nuestros datos. Esto significa que, en promedio, los pacientes se desvían de la media en 20 mmHg.

La puntuación z ahora nos dice qué tan lejos está una persona de la media en unidades de desviación estándar. Entonces, una persona que se desvía una desviación estándar de la media tiene una puntuación z de 1. Una persona que está dos veces más lejos de la media tiene una puntuación z de 2. Y una persona que está a tres desviaciones estándar de la media tiene una puntuación z de 3.

Del mismo modo, una persona que está una desviación estándar por debajo de la media tiene una puntuación z de -1, una que está dos desviaciones estándar por debajo tiene una puntuación z de -2 y una que está tres desviaciones estándar por debajo tiene una puntuación z de -3.

Si una persona tiene exactamente el valor de la media, entonces se desvía cero desviaciones estándar de la media y recibe una puntuación de cero.

Por lo tanto, la puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra una medida con respecto a la media. Como se mencionó, la desviación estándar es simplemente una medida de la dispersión de la presión arterial de los pacientes alrededor de la media.

En resumen, la puntuación z nos ayuda a comprender qué tan excepcional o normal es una medición en particular en comparación con el promedio general.

Calcular la puntuación z

¿Cómo calculamos la puntuación z? Queremos convertir los datos originales, en nuestro caso la presión arterial, en puntuaciones z, es decir, realizar una estandarización z.

Aquí vemos la fórmula para la estandarización z. En la fórmula, z es el valor z que queremos calcular, x es el valor observado (la presión arterial de la persona en cuestión), μ es el valor medio y σ es la desviación estándar; en nuestro caso, ambos se calculan a partir de los 40 pacientes.

Precaución: Estrictamente hablando, μ y σ son la media y la desviación estándar de la población, pero en nuestro caso solo tenemos una muestra. Bajo ciertas condiciones, que discutiremos más adelante, podemos estimar la media y la desviación estándar usando la muestra.

Supongamos que los 40 pacientes de nuestro ejemplo tienen un valor medio de 130 y una desviación estándar de 20. Si usamos ambos valores, obtenemos para z: x - 130 dividido por 20.

Ahora podemos usar la presión arterial de cada paciente individual para x y calcular el valor z. Hagamos esto con el primer paciente. Digamos que este paciente tiene una presión arterial de 97, luego simplemente ingresamos 97 para x y obtenemos un valor z de -1,65.

Por lo tanto, esta persona se sitúa 1,65 desviaciones estándar por debajo de la media. Ahora podemos hacer esto para todos los pacientes.

Independientemente de la unidad de los datos iniciales, ahora tenemos una visión general en la que podemos ver hasta qué punto una persona se desvía de la media en unidades de desviación estándar.

Ahora, por supuesto, solo tenemos una muestra que proviene de una población específica. Pero si los datos se distribuyen normalmente y el tamaño de la muestra es mayor que 30, entonces podemos usar el valor z para decir qué porcentaje de pacientes tiene una presión arterial inferior a 110, por ejemplo, y qué porcentaje tiene una presión arterial superior a 110.

¿Pero cómo funciona esto? Si los datos iniciales están distribuidos normalmente, obtenemos la llamada distribución normal estándar mediante la estandarización z.

La distribución normal estándar es un tipo específico de distribución normal con un valor medio de 0 y una desviación estándar de 1.

La característica especial es que cualquier distribución normal, independientemente de su media o desviación estándar, se puede convertir en una distribución normal estándar.

Como ahora tenemos una distribución estandarizada, todo lo que realmente necesitamos es una tabla que nos diga qué porcentaje de los valores están por debajo de un valor z determinado.

Puede encontrar una tabla de este tipo en casi todos los libros de estadística o aquí: Tabla de la distribución z. Ahora, por supuesto, la pregunta es cómo leer esta tabla.

Si, por ejemplo, tenemos un valor z de -2, entonces podemos leer un valor de 0,0228 en esta tabla.

Esto significa que el 2,28% de los valores es menor que un valor z de -2. Como el total es siempre 100% o 1, el 97,72% restante es mayor.

Con un valor z de cero, estamos exactamente en el medio y obtenemos un valor de 0,5. Por lo tanto, el 50% de los valores son menores que un valor z de 0 y el 50% de los valores son mayores que 0. Como la distribución normal es simétrica, también podemos deducir de esta tabla las probabilidades de los valores z positivos.

Si tenemos un valor z de 1, solo necesitamos buscar -1. Sin embargo, debemos tener en cuenta que en este caso obtenemos un valor que nos dice qué porcentaje de los valores son mayores que el valor z. Entonces, con un valor z de 1, el 15,87% de los valores son mayores y el 84,13% de los valores son menores.

Pero ¿qué pasa si, por ejemplo, queremos leer un valor z de -1,81 en la tabla? Necesitamos las otras columnas para esto. El valor z de -1,81 se busca en la fila -1,8 y en la columna 0,01.

Ahora veamos nuevamente el ejemplo de la presión arterial. Si queremos saber qué porcentaje de pacientes tienen una presión arterial por debajo de 123, podemos usar la estandarización z para convertir una presión arterial de 123 en un valor z; en este caso obtenemos un valor z de -0,35.

Ahora podemos tomar la tabla con las distribuciones z y buscar un valor z de -0,35. Aquí tenemos un valor de 0,3632. Esto significa que el 36,32% de los valores es menor que un valor z de -0,35 y el 63,68% es mayor.

Comparar diferentes conjuntos de datos con la puntuación z

Hay otra aplicación importante para la estandarización z: puede ayudar a hacer comparables los valores medidos de diferentes maneras. Aquí hay un ejemplo.

Supongamos que tenemos dos clases, la clase A y la clase B, que han escrito un examen diferente en matemáticas.

Las pruebas están diseñadas de forma diferente, tienen diferente nivel de dificultad y diferente puntuación máxima.

Para comparar de manera justa el desempeño de los alumnos en las dos clases, podemos aplicar la estandarización z.

La puntuación media en la clase A fue de 70 puntos, con una desviación estándar de 10 puntos. La puntuación media de la prueba en la clase B fue de 140 puntos, con una desviación estándar de 20 puntos.

Ahora queremos comparar el desempeño de Max, de la clase A, que obtuvo 80 puntos, con el desempeño de Emma, de la clase B, que obtuvo 160 puntos.

Para hacer esto, simplemente calculamos el valor z de Max y Emma. Ingresamos 80 una vez para x y obtenemos un valor z de 1. Luego ingresamos 160 para x y también obtenemos un valor z de 1.

Por tanto, los valores z de Max y Emma son los mismos. Esto significa que ambos estudiantes se desempeñaron igualmente bien en términos de rendimiento promedio y dispersión en sus respectivas clases. Ambos están exactamente una desviación estándar por encima de la media de su clase.

Supuestos

¿Qué pasa con los supuestos? ¿Podemos simplemente calcular una estandarización z y usar la tabla de distribución normal estándar?

La estandarización z en sí, es decir, la conversión de los puntos de datos en valores z mediante esta fórmula, no exige condiciones estrictas. Se puede llevar a cabo independientemente de la distribución de los datos.

Sin embargo, si utilizamos los valores z resultantes en el contexto de la distribución normal estándar para análisis estadísticos (por ejemplo, para pruebas de hipótesis o intervalos de confianza), se deben cumplir ciertos supuestos.

La distribución z supone que la población subyacente tiene una distribución normal y que se conocen la media (μ) y la desviación estándar (σ) de la población.

Como rara vez se cuenta con toda la población en la práctica y generalmente no se conocen el valor medio y la desviación estándar, este requisito a menudo no se cumple. Afortunadamente, existe un supuesto alternativo.

Aunque la distribución z está definida para poblaciones distribuidas normalmente, el teorema del límite central se puede aplicar a muestras grandes. Este teorema establece que la distribución de la media muestral se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra; como regla práctica se suele tomar un tamaño mayor que 30. Por lo tanto, si la muestra es mayor que 30, se puede utilizar la distribución normal estándar como aproximación y se pueden estimar la media y la desviación estándar utilizando la muestra.

Cuando se estima la desviación estándar a partir de la muestra, generalmente se escribe s en lugar de σ y x̄ (x con barra) en lugar de μ para la media.

La estandarización z no debe confundirse con la prueba z o la prueba t. Si quieres saber qué es la prueba t, puedes consultar el tutorial sobre la prueba t.